2860. Через вершины A
и B
треугольника ABC
проведена окружность, пересекающая стороны BC
и AC
в точках D
и E
соответственно. Площадь треугольника CDE
в семь раз меньше площади четырёхугольника ABDE
. Найдите хорду DE
и радиус окружности, если AB=4
и \angle C=45^{\circ}
.
Ответ. \sqrt{2}
, \sqrt{5}
.
Указание. Докажите, что треугольники CDE
и CAB
подобны с коэффициентом \frac{1}{\sqrt{8}}
. Примените теорему синусов к треугольнику ADC
.
Решение. Треугольники CDE
и CAB
подобны, так как угол при вершине C
у них общий и
\angle CED=180^{\circ}-\angle AED=180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle CBA)=\angle CBA.
По условию площадь треугольника CDE
в семь раз меньше площади четырёхугольника ABDE
, поэтому площадь треугольника CDE
в восемь раз меньше площади треугольника CAB
, Значит, коэффициент подобия треугольников CDE
и CAB
равен \frac{1}{\sqrt{8}}
. Следовательно,
ED=\frac{AB}{\sqrt{8}}=\frac{4}{\sqrt{8}}=\sqrt{2}.
Обозначим \angle CAD=\alpha
. Тогда
\angle ADC=180^{\circ}-45^{\circ}-\alpha=135^{\circ}-\alpha.
По теореме синусов
\frac{\sin\angle CAD}{\sin\angle ADC}=\frac{CD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{8}},
или
\frac{\sin\alpha}{\sin(135^{\circ}-\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{\sin(45^{\circ}+\alpha)}=\frac{1}{\sqrt{8}},
\sqrt{8}\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}(\sin\alpha+\cos\alpha),
4\sin\alpha=\sin\alpha+\cos\alpha,
откуда находим, что
\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=3.
Поэтому \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}
.
Описанная около четырёхугольника ABDE
окружность является также описанной окружностью треугольника ADE
. Пусть R
— её радиус. Тогда
R=\frac{DE}{2\sin\angle EAD}=\frac{\sqrt{2}}{2\sin\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{10}}}=\sqrt{5}.