2861. Окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
имеют общую хорду AB
, \angle AO_{1}B=60^{\circ}
. Отношение длины первой окружности к длине второй равно \sqrt{2}
. Найдите угол AO_{2}B
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Указание. Выразите через радиус меньшей окружности стороны треугольника AO_{2}B
.
Решение. Пусть R
и r
— радиусы окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно. По условию
\frac{2\pi R}{2\pi r}=\frac{R}{r}=\sqrt{2}.
Поэтому R=r\sqrt{2}
. Треугольник AO_{1}B
— равносторонний, поэтому
AB=O_{1}A=R=r\sqrt{2}.
Боковые стороны равнобедренного треугольника AO_{2}B
равны r
, а основание AB=r\sqrt{2}
. Тогда
O_{2}A^{2}+O_{2}B^{2}=r^{2}+r^{2}=2r^{2}=AB^{2}.
Следовательно, треугольник AO_{2}B
— прямоугольный и \angle AO_{2}B=90^{\circ}
.