2865. Касательная к окружности (K
— точка касания) параллельна хорде LM
. Известно, что LM=6
, KM=5
. Найдите радиус окружности.
Ответ. \frac{25}{8}
.
Указание. Примените теорему об угле между касательной и хордой.
Решение. Пусть точка B
лежит на данной касательной, причём точки B
и L
расположены по разные стороны от прямой KM
. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle KLM=\angle BKM=\angle KML,
поэтому треугольник KLM
— равнобедренный. Если KA
— его высота, то
MA=\frac{1}{2}ML=3,~AK=\sqrt{KM^{2}-AM^{2}}=\sqrt{25-9}=4,
\sin\angle KML=\frac{AK}{KM}=\frac{4}{5}.
Пусть R
— радиус окружности. Тогда
R=\frac{KL}{2\sin\angle KML}=\frac{KM}{2\sin\angle KML}=\frac{5}{2\cdot\frac{4}{5}}=\frac{25}{8}.