2867. В треугольнике ABC
точка D
лежит на AC
, причём AD=2DC
. Точка E
лежит на BC
. Площадь треугольника ABD
равна 3, площадь треугольника AED
равна 1. Отрезки AE
и BD
пересекаются в точке O
. Найдите отношение площадей треугольников ABO
и OED
.
Ответ. 9.
Указание. Если точка D
лежит на стороне AC
треугольника ABC
, то \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle CBD}}=\frac{AD}{CD}
.
Решение. Поскольку \frac{AC}{AD}=\frac{3}{2}
, то
S_{\triangle ABC}=\frac{AC}{AD}\cdot S_{\triangle ADB}=3\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{2},
S_{\triangle AEC}=\frac{AC}{AD}\cdot S_{\triangle AED}=1\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.
Поэтому
\frac{CE}{BC}=\frac{S_{\triangle AEC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{2}}=\frac{1}{3},
а так как \frac{CD}{CA}=\frac{1}{3}=\frac{CE}{BC}
, то DE\parallel AB
. Значит, треугольники DOE
и AOB
подобны с коэффициентом
\frac{DE}{AO}=\frac{CD}{CA}=\frac{1}{3}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle OED}}{S_{\triangle ABO}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9},~\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle OED}}=9.