2868. В параллелограмме ABCD
точки E
и F
лежат соответственно на сторонах AB
и BC
, M
— точка пересечения прямых AF
и DE
, причём AE=2BE
, а BF=3CF
. Найдите отношение AM:MF
.
Ответ. 4:5
.
Указание. Пусть прямые BC
и DE
пересекаются в точке K
. Треугольник KBE
подобен треугольнику DAE
, а треугольник AMD
— треугольнику FMK
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения прямых BC
и DE
. Обозначим AD=4a
. тогда
BF=\frac{3}{4}BC=\frac{3}{4}AD=3a.
Из подобия треугольников KBE
и DAE
находим, что
BK=AD\cdot\frac{BE}{AE}=4a\cdot\frac{1}{2}=2a,
а из подобия треугольников AMD
и FMK
—
\frac{AM}{MF}=\frac{AD}{FK}=\frac{AD}{BK+BF}=\frac{4a}{2a+3a}=\frac{4}{5}.