2869. В треугольнике ABC
известно, что AB=3
, AC=3\sqrt{7}
, \angle ABC=60^{\circ}
. Биссектриса угла ABC
продолжена до пересечения в точке D
с окружностью, описанной вокруг треугольника. Найдите BD
.
Ответ. 4\sqrt{3}
.
Указание. Найдите AD
, CD
и BC
. Выразив по теореме косинусов отрезок BD
из треугольников BAD
и BCD
, получите уравнение относительно \cos\angle BAD
.
Решение. Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Тогда
R=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}=\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\sqrt{21},
CD=AD=2R\sin\angle ABD=2R\sin30^{\circ}=R=\sqrt{21}.
Обозначим BC=x
. По теореме косинусов
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos60^{\circ},
63=9+x^{2}-3x,~x^{2}-3x-54=0,
откуда BC=x=9
.
Обозначим \angle BAD=\alpha
. Тогда \angle BCD=180^{\circ}-\alpha
. Выражая по теореме косинусов отрезок BD
из треугольников BAD
и BCD
, получим уравнение
9+21-6\sqrt{21}\cos\alpha=81+21+18\sqrt{21}\cos\alpha,
откуда \cos\alpha=-\frac{3}{\sqrt{21}}
. Следовательно,
BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2AB\cdot AD\cos\alpha=9+21+2\cdot3\cdot\sqrt{21}\cdot\frac{3}{\sqrt{21}}=
=30+18=48,~BD=\sqrt{48}=4\sqrt{3}.