2871. В трапеции ABCD
боковая сторона AD
перпендикулярна основаниям и равна 9, CD=12
, а отрезок AO
, где O
— точка пересечения диагоналей трапеции, равен 6. Найдите площадь треугольника BOC
.
Ответ. \frac{108}{5}
.
Указание. Треугольники BOC
и AOD
равновелики.
Решение. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADC
находим, что
AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15.
Тогда
OC=AC-AO=15-6=9,
S_{\triangle AOD}=\frac{AO}{AC}\cdot S_{\triangle ADC}=\frac{6}{15}\cdot\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot9\cdot12=\frac{108}{5}.
Треугольник BOC
равновелик треугольнику AOD
, так как
S_{\triangle BOC}=S_{\triangle ACB}-S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ADB}-S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOD}.
Следовательно, S_{\triangle BOC}=\frac{108}{5}
.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1996 (предварительный экзамен), № 7, вариант 2