2875. В треугольнике ABC
проведены высоты AE
и CD
. Найдите сторону AB
, если BD=18
, BC=30
, AE=20
.
Ответ. 25.
Указание. AB\cdot CD=BC\cdot AE
.
Решение. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BDC
находим, что
CD^{2}=BC^{2}-BD^{2}=30^{2}-18^{2}=(30-18)(30+18)=12\cdot48=12^{2}\cdot2^{2},
значит, CD=24
.
Пусть S
— площадь треугольника. Тогда
S=\frac{1}{2}AB\cdot CD~\mbox{и}~S=\frac{1}{2}BC\cdot AE,
поэтому AB\cdot CD=BC\cdot AE
, откуда
AB=\frac{BC\cdot AE}{CD}=\frac{30\cdot20}{24}=25.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1993, устный экзамен