2876. В треугольнике ABC
проведена биссектриса BE
, которую центр O
вписанной окружности делит в отношении BO:OE=2
. Найдите сторону AB
, если AC=7
, BC=8
.
Ответ. 6.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника к треугольникам ABC
и ABE
.
Решение. Обозначим AB=x
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC},
поэтому AE=\frac{7x}{x+8}
.
AO
— биссектриса треугольника ABE
, поэтому
\frac{AE}{AB}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{2},~\mbox{или}~\frac{7}{x+8}=\frac{1}{2},
откуда находим, что AB=x=6
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. —