2878. В тупоугольном треугольнике наибольшая сторона равна 4, а наименьшая — 2. Может ли площадь треугольника быть больше 2\sqrt{3}
?
Ответ. Нет.
Указание. Выразите большую сторону треугольника по теореме косинусов.
Решение. Пусть в треугольнике ABC
угол B
— тупой, AB=2
, AC=4
. Обозначим BC=x
. По теореме косинусов
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\angle B,~\mbox{или}~16=4+x^{2}-4x\cos\angle B,
откуда x^{2}-12=4x\cos\angle B\lt0
, поэтому x^{2}\lt12
, x\lt2\sqrt{3}
.
Если S
— площадь треугольника, то
S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle B=\frac{1}{2}\cdot2\cdot x\sin\angle B=x\sin\angle B\lt2\sqrt{3}\cdot1=2\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1994, устный экзамен