2885. Углы треугольника ABC
удовлетворяют равенству
\cos^{2}A+\cos^{2}B+\cos^{2}C=1.
Найдите площадь этого треугольника, если радиусы вписанной и описанной окружностей равны \sqrt{3}
и 3\sqrt{2}
соответственно.
Ответ. 6\sqrt{6}+3
.
Указание. Докажите, что данный треугольник — прямоугольный.
Решение. Умножим на 2 обе части данного равенства, заменим \angle C=180^{\circ}-\angle A-\angle B
и воспользуемся формулами тригонометрии:
2\cos^{2}A+2\cos^{2}B+2\cos^{2}(A+B)=2~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~1+\cos2A+1+\cos2B+2\cos^{2}(A+B)=2~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\cos2A+\cos2B+2\cdot\cos^{2}(A+B)=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\cos(A+B)\cos(A-B)+2\cos^{2}(A+B)=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2\cos(A+B)(\cos(A-B)+\cos(A+B))=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~4\cos(A+B)\cos A\cos B=0.
Из последнего равенства следует, что один из углов треугольника ABC
равен 90^{\circ}
, т. е. треугольник ABC
— прямоугольный.
Предположим, что \angle C=90^{\circ}
. Пусть R=3\sqrt{2}
— радиус описанной окружности треугольника ABC
, r=\sqrt{3}
— радиус вписанной окружности, O
— её центр, K
, M
и N
— точки касания со сторонами AB
, BC
и AC
— соответственно. Тогда
AB=2R=6\sqrt{2},~S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle AOK}+2S_{\triangle BOK}+S_{OMCN}=
=2(S_{\triangle AOK}+S_{\triangle BOK})+S_{OMCN}=2S_{\triangle AOB}+S_{OMCN}=AB\cdot OK+OM^{2}=
=AB\cdot r+r^{2}=2Rr+r^{2}=6\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+3=6\sqrt{6}+3.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1996, основной экзамен, вариант 1, № 4
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 3.26, с. 33