2887. Пусть r
и R
— радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника. Докажите, что площадь треугольника равна r(2R+r)
.
Указание. Пусть вписанная окружность с центром O
касается катетов BC
и AC
прямоугольного треугольника ABC
в точках M
и N
соответственно. Тогда площадь треугольника ABC
равна сумме площадей треугольника AOB
и квадрата OMCN
.
Решение. Пусть вписанная окружность с центром O
касается гипотенузы AB
прямоугольного треугольника ABC
в точке K
, а катетов BC
и AC
— в точках M
и N
соответственно. Тогда
AK=AN,~BK=BM,~CM=CN=OM=ON=r,
поэтому треугольник ANO
равен треугольнику AKO
, треугольник BMO
равен треугольнику BKO
, а четырёхугольник OMCN
— квадрат. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle AOK}+2S_{\triangle BOK}+S_{OMCN}=
=2(S_{\triangle AOK}+S_{\triangle BOK})+S_{OMCN}=
=2S_{\triangle AOB}+S_{OMCN}=AB\cdot OK+OM^{2}=AB\cdot r+r^{2}=
=2Rr+r^{2}=r(2R+r).