2893. Хорда AB
разбивает окружность S
на две дуги. Окружность S_{1}
касается хорды AB
в точке M
и одной из дуг в точке N
. Докажите, что
а) прямая MN
проходит через середину P
второй дуги;
б) длина касательной PQ
к окружности S_{1}
равна PA
.
Решение. а) Пусть O
и O_{1}
— центры окружностей S
и S_{1}
соответственно. Поскольку OP=ON
и O_{1}M=O_{1}N
(радиусы одной окружности), треугольники OPN
и O_{1}MN
— равнобедренные, причём OPN
— их общий угол при основаниях. Следовательно, точки N
, M
и P
лежат на одной прямой.
Другой способ. Рассмотрим гомотетию с центром в точке N
касания окружностей, переводящую окружность S_{1}
в окружность S
. Касательная AB
к окружности S_{1}
перейдёт в параллельную ей касательную l
к окружности S
, касательная, параллельная хорде AB
, делит дугу AB
пополам. Тогда точка M
перейдёт в середину P
дуги AB
, не содержащей точку N
. Следовательно, прямая MN
проходит через середину P
этой дуги.
б) Продолжим радиус OP
окружности S
до пересечения с хордой AB
в точке K
. Тогда K
— середина хорды AB
. Применив теорему о касательной и секущей, теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд и теорему Пифагора, получим, что
PQ^{2}=PM\cdot PN=PM(PM+MN)=PM^{2}+PM\cdot MN=
=(PK^{2}+KM^{2})+AM\cdot MB=(PK^{2}+KM^{2})+(AK+KM)(BK-KM)=
=(PK^{2}+KM^{2})+(AK+KM)(AK-KM)=(PK^{2}+KM^{2})+(AK^{2}-KM^{2})=
=PK^{2}+AK^{2}=AP^{2}.
Следовательно, PQ=AP
.
Другой способ. Продолжим PO
до пересечения с окружностью S
в точке L
. Прямоугольные треугольники PKM
и PNL
подобны, поэтому \frac{PK}{PM}=\frac{PN}{PL}
, откуда PM\cdot PN=PK\cdot PL
. Кроме того AK
— высота прямоугольного треугольника APL
, проведённая из вершины прямого угла PAL
. Следовательно,
PQ^{2}=PM\cdot PN=PK\cdot PL=PA^{2}.