2896. Биссектрисы углов A
и B
треугольника ABC
пересекают описанную окружность треугольника в точках A_{1}
и B_{1}
. Вписанная окружность касается сторон AC
и BC
в точках A_{2}
и B_{2}
. Докажите, что A_{1}B_{1}\parallel A_{2}B_{2}
.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Пусть O
— центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис) треугольника ABC
. Тогда CO
— биссектриса угла ACB
. Пусть прямая CO
пересекает отрезок A_{1}B_{1}
в точке M
, а описанную окружность треугольника ABC
— в точке C_{1}
. Тогда
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle AA_{1}B_{1}+\angle AA_{1}C_{1}=\angle ABB_{1}+\angle ACC_{1}=\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2},
\angle CC_{1}A_{1}=\angle CAA_{1}=\frac{\alpha}{2}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CMB_{1}=\angle B_{1}A_{1}C_{1}+\angle A_{1}C_{1}C=\left(\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}\right)+\frac{\alpha}{2}=90^{\circ},
т. е. A_{1}B_{1}\perp CO
. С другой стороны, в равнобедренном треугольнике A_{2}CB_{2}
биссектриса CO
угла при вершине C
перпендикулярна основанию A_{2}B_{2}
, т. е. A_{2}B_{2}\perp CO
. Следовательно, A_{1}B_{1}\parallel A_{2}B_{2}
.