2897. В треугольнике ABC
с прямым углом C
проведены высота CD
, и биссектриса CF
; DK
и DL
— биссектрисы треугольников BDC
и ADC
. Докажите, что CLFK
— квадрат.
Решение. Прямоугольные треугольники BDC
и BCA
подобны, DK
и CF
— их соответствующие биссектрисы, поэтому AB:BF=BC:BK
, значит, FK\parallel AC
. Аналогично, FL\parallel BC
. Четырёхугольник CLFK
— прямоугольник, диагональ CF
которого — биссектриса угла KCL
. Следовательно, CLFK
— квадрат.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.21
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.26, с. 104