2900. Точки O
и C
лежат по одну сторону от прямой AB
. При этом OA=OB
и \angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB
. Докажите, что точки A
, B
и C
лежат на окружности с центром O
.
Решение. Предположим, что точка C
лежит внутри окружности с центром O
и радиусом OA=OB
. Тогда прямая AC
вторично пересекает эту окружность в некоторой точке C'
. Вписанный угол AC'B
равен половине центрального угла AOB
, а так как ACB
— внешний угол треугольника AC'B
, то \angle ACB\gt\angle AC'B=\frac{1}{2}\angle AOB
, что противоречит условию.
Если же точка C
лежит вне окружности, то хотя бы один из отрезков AC
и BC
пересекает окружность в некоторой точке C'
. Тогда \angle ACB\lt\angle AC'B=\frac{1}{2}\angle AOB
, что также противоречит условию.
Следовательно, точка C
лежит на указанной окружности.
Примечание. Аналогично можно доказать, что если O
и C
лежат по разные стороны от прямой AB
и при этом OA=OB
и \angle ACB=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB
, то точки A
, B
и C
лежат на окружности с центром O
.