2906. В треугольнике ABC
известно, что AB=c
, BC=a
, AC=b
. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису CD
?
Ответ. \frac{a+b}{c}
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника \frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}
, а так как AB=c
, то
AD=b\cdot\frac{c}{a+b}=\frac{bc}{a+b}.
Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда O
— точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому AO
— биссектриса треугольника ACD
. Следовательно,
\frac{CO}{OD}=\frac{AC}{AD}=\frac{b}{\frac{bc}{a+b}}=\frac{a+b}{c}.
