2910. На боковых сторонах AB
и CD
трапеции ABCD
расположены точки M
и N
соответственно, причём BM:AM=CN:ND=3:5
. Найдите MN
, если BC=a
и AD=b
.
Ответ. \frac{5a+3b}{8}
.
Указание. Проведите диагональ трапеции.
Решение. Проведём через точку M
прямую, параллельную основаниям. Пусть N_{1}
— точка её пересечения с боковой стороной CD
. Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что
\frac{CN_{1}}{N_{1}D}=\frac{BM}{MA}=\frac{3}{5}=\frac{CN}{ND}.
Поэтому точка N_{1}
совпадает с N
. Следовательно, MN\parallel AD
.
Первый способ. Проведём диагональ AC
и обозначим через P
точку её пересечения с MN
. Из подобия треугольников AMP
и ABC
находим, что MP=\frac{5}{8}BC=\frac{5}{8}a
, а из подобия треугольников CPN
и CAD
— PN=\frac{3}{8}b
. Следовательно,
MN=MK+KN=\frac{5}{8}a+\frac{3}{8}b=\frac{5a+3b}{8}.
Второй способ. Предположим, что a\lt b
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
. Пусть Q
— точка её пересечения с основанием AD
, а E
— с отрезком MN
. Из подобия треугольников CEN
и CQD
находим, что
EN=\frac{3}{8}QD=\frac{3}{8}(b-a).
Тогда
MN=ME+EN=a+\frac{3}{8}(b-a)=\frac{5a+3b}{8}.
Аналогично для a\gt b
.