2913. Точки M
и N
расположены соответственно на диагоналях BD
и AC
трапеции ABCD
, причём BM:MD=CN:NA=1:8
. Найдите MN
, если известно, что основания AD
и BC
трапеции равны a
и b
соответственно.
Ответ. \frac{|8b-a|}{9}
.
Указание. Продолжите PQ
до пересечения с одной из боковых сторон трапеции.
Решение. Проведём через точку N
прямую, параллельную основаниям. Пусть E
и M_{1}
— её точки пересечения со стороной AB
и диагональю BD
соответственно. Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что
AE:BE=AN:NC=8:1,~DM_{1}:M_{1}B=AE:BE=8:1=DM:MB.
Поэтому точка M_{1}
совпадает с точкой M
. Следовательно, MN\parallel AD
.
Из подобия треугольников ANE
и ACB
находим, что
NE=\frac{AE}{AB}\cdot BC=\frac{8}{9}BC=\frac{8}{9}b,
а из подобия треугольников BEM
и BAD
—
ME=\frac{1}{9}AD=\frac{1}{9}b.
Следовательно,
MN=|NE-ME|=\left|\frac{8}{9}b-\frac{1}{9}b\right|=\frac{|8b-a|}{9}.