2920. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника.
Ответ. 10.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
треугольника ABC
, \angle A_{1}C_{1}B_{1}=90^{\circ}
, A_{1}B_{1}=10
; A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
— точки пересечения продолжений высот соответственно AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
с окружностью, описанной около треугольника ABC
. Тогда A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины отрезков HA_{2}
, HB_{2}
, HC_{2}
. Значит, A_{1}B_{1}
, B_{1}C_{1}
, A_{1}C_{1}
— средние линии треугольников A_{2}HB_{2}
, B_{2}HC_{2}
, A_{2}HC_{2}
, поэтому стороны треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
соответственно параллельны сторонами треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, причём A_{2}B_{2}=2A_{1}B_{1}
, A_{2}C_{2}=2A_{1}C_{1}
, B_{2}C_{2}=2B_{1}C_{1}
. Следовательно, треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
также прямоугольный и его гипотенуза A_{2}B_{2}
вдвое больше A_{1}B_{1}
, т.е равна 20. Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
(а значит, и около треугольника ABC
), равен 10.
Примечание. См. также статью А.Егорова «Ортоцентрический треугольник», Квант, 2001, N4, с.36-38.