2922. Треугольник BHC
, где H
— ортоцентр треугольника ABC
, достроен до параллелограмма BHCD
. Докажите, что \angle BAD=\angle CAH
.
Решение. Пусть ABC
— остроугольный треугольник, а AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— его высоты. Поскольку BHCD
— параллелограмм, BB_{1}\parallel CD
и CC_{1}\parallel BD
, поэтому \angle ACD=\angle ABD=90^{\circ}
. Из точек B
и C
отрезок AD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD
.
Обозначим \angle ACB=\gamma
. Тогда вписанные в окружность углы ADB
и ACB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ADB=\angle ACB=\gamma
. Из прямоугольных треугольников AA_{1}C
и ABD
находим, что
\angle CAH=\angle CAA_{1}=90^{\circ}-\gamma,~\angle BAD=90^{\circ}-\gamma.
Следовательно, \angle BAD=\angle CAH
. Аналогично для тупоугольного треугольника.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2.105
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.110, с. 42