2926. Точки M
и N
расположены на стороне AC
треугольника ABC
, а точки K
и L
— на стороне AB
, причём AM:MN:NC=1:3:1
и AK=KL=LB
. Известно, что площадь треугольника ABC
равна 1. Найдите площадь четырёхугольника KLNM
.
Ответ. \frac{7}{15}
.
Решение. У треугольников ANC
и ABC
общая высота, проведённая из вершины C
, поэтому их площади относятся как основания, значит,
S_{\triangle ANC}=\frac{AN}{AB}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{4}{5}\cdot1=\frac{4}{5}.
Аналогично,
S_{\triangle ANL}=\frac{AL}{AC}\cdot S_{\triangle ANC}=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}=\frac{8}{15},
S_{\triangle ANK}=\frac{AK}{AC}\cdot S_{\triangle ANC}=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{15},~S_{\triangle AKM}=\frac{AM}{AN}\cdot S_{\triangle ANK}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{15}=\frac{1}{15}.
Следовательно,
S_{KLNM}=S_{\triangle ANL}-S_{\triangle AKM}=\frac{8}{15}-\frac{1}{15}=\frac{7}{15}.