2930. В треугольнике ABC
известны стороны BC=a
, AC=b
, AB=c
и площадь S
. Биссектрисы BM
и CN
пересекаются в точке O
. Найдите площадь треугольника BOC
.
Ответ. \frac{aS}{a+b+c}
.
Решение. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, т. е. \frac{BN}{AN}=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}
, а так как AB=c
, то
BN=AB\cdot\frac{BN}{AB}=c\cdot\frac{a}{a+b}=\frac{ac}{a+b}.
Следовательно,
S_{\triangle BNC}=\frac{BN}{AB}S_{\triangle ABC}=\frac{\frac{ac}{a+b}}{c}S=\frac{a}{a+b}S.
BO
— биссектриса треугольника BNC
, поэтому
\frac{CO}{ON}=\frac{BC}{BN}=\frac{a}{\frac{ac}{a+b}}=\frac{a+b}{c},~\frac{CO}{CN}=\frac{CO}{CO+ON}=\frac{a+b}{a+b+c}.
Следовательно,
S_{\triangle BOC}=\frac{CO}{CN}S_{\triangle BNC}=\frac{a+b}{a+b+c}\cdot\frac{a}{a+b}S=\frac{aS}{a+b+c}.