2931. В треугольнике ABC
известны стороны BC=a
, AC=b
, AB=c
и площадь S
. Биссектрисы BN
и CK
пересекаются в точке O
. Найдите площадь треугольника BOK
.
Ответ. \frac{acS}{(a+b)(a+b+c)}
.
Решение. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, т. е. \frac{BK}{AK}=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}
, а так как AB=c
, то
BK=AB\cdot\frac{BK}{AB}=c\cdot\frac{a}{a+b}=\frac{ac}{a+b}.
Следовательно,
S_{\triangle BKC}=\frac{BK}{AB}S_{\triangle ABC}=\frac{\frac{ac}{a+b}}{c}S=\frac{a}{a+b}S.
BO
— биссектриса треугольника BKC
, поэтому
\frac{OK}{OC}=\frac{BK}{BC}=\frac{\frac{ac}{a+b}}{a}=\frac{c}{a+b},~\frac{OK}{CK}=\frac{OK}{CO+OK}=\frac{c}{a+b+c}.
Следовательно,
S_{\triangle BOK}=\frac{OK}{CK}S_{\triangle BKC}=\frac{c}{a+b+c}\cdot\frac{a}{a+b}S=\frac{acS}{(a+b)(a+b+c)}.