2934. На сторонах BC
, AC
и AB
треугольника ABC
расположены точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, причём BA_{1}:A_{1}C=CB_{1}:B_{1}A=AC_{1}:C_{1}B=1:3
. Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
, если известно, что площадь треугольника ABC
равна 1.
Ответ. \frac{4}{13}
.
Указание. Найдите отношение, в котором делятся точкой пересечения отрезки BB_{1}
и CC_{1}
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения отрезков BB_{1}
и CC_{1}
. Через точку B
проведём прямую, параллельную AC
, и продолжим CC_{1}
до пересечения с этой прямой в точке T
. Положим CB_{1}=a
, AB_{1}=3a
Треугольники BC_{1}T
и AC_{1}C
подобны с коэффициентом 3
. Поэтому BT=3AC=3\cdot4a=12a
, а из подобия треугольников BKT
и B_{1}KC
находим, что
\frac{BK}{KB_{1}}=\frac{BT}{CB_{1}}=\frac{12a}{a}=12.
Поэтому
S_{\triangle CB_{1}K}=\frac{1}{13}S_{\triangle CBB_{1}}=\frac{1}{13}\cdot\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{52}.
Аналогично находим, что
S_{\triangle AMC_{1}}=S_{\triangle BNA_{1}}=\frac{1}{52},
где M
— точка пересечения AA_{1}
и CC_{1}
, а N
— BB_{1}
и AA_{1}
. Следовательно,
S_{\triangle MNK}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ABA_{1}}-S_{\triangle BCB_{1}}-S_{\triangle CAC_{1}}+S_{\triangle CB_{1}K}+S_{\triangle AC_{1}M}+S_{\triangle BA_{1}N}=
=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{52}+\frac{1}{52}+\frac{1}{52}=1-\frac{3}{4}+\frac{3}{52}=\frac{1}{4}+\frac{3}{52}=\frac{4}{13}.