2939. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей прямоугольного треугольника с катетом, равным 2, и противолежащим острым углом в 30^{\circ}
.
Ответ. \sqrt{3}-1;3-\sqrt{3};\sqrt{3}+1;3+\sqrt{3}
.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
, в котором BC=2
, \angle BAC=30^{\circ}
. Тогда AB=2BC=4
, AC=\sqrt{3}BC=2\sqrt{3}
. Если A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— точки касания окружности, вписанной в треугольник, со сторонами BC
, AC
и AB
соответственно, а r
— радиус вписанной окружности с центром O
, то четырёхугольник OA_{1}CB_{1}
квадрат со стороной r
, поэтому
AC_{1}=AB_{1}=AC-CB_{1}=AC-r,~BC_{1}=BA_{1}=BC-CA_{1}=BC-r.
Тогда
AB=AC_{1}+BC_{1}=(AC-r)+(BC-r)=AC+BC-2r.
Следовательно,
r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{2\sqrt{3}+2-4}{2}=\sqrt{3}-1.
Пусть p=\frac{BC+AC+BC}{2}=\frac{2+2\sqrt{3}+4}{2}=3+\sqrt{3}
— полупериметр треугольника ABC
, r_{a}
— радиус окружности с центром O_{a}
, касающейся катета BC
в точке A_{2}
, а продолжений гипотенузы AB
и катета AC
— в точках M
и N
соответственно. Тогда
2p=AC+BC+AB=AC+(CA_{2}+C_{2}B)+AB=
=AC+(CN+BM)+AB=(AC+CN)+(AB+BM)=AN+AM,
а так как AM=AN
, то AN=p
. Четырёхугольник O_{a}NCA_{2}
— квадрат со стороной r_{a}
, поэтому
r_{a}=O_{a}A_{2}=CN=AN-AC=p-AC=3+\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3-\sqrt{3}.
Если r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся катета AC
и гипотенузы AB
, то аналогично найдём, что
r_{b}=p-BC=3+\sqrt{3}-2=\sqrt{3}+1,~r_{c}=p=3+\sqrt{3}.