2942. Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, равные 1 и 4. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 18.
Решение. Пусть окружность с центром O
и радиусом r
, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD
с основаниями AD
и BC
и прямыми углами при вершинах A
и B
, касается оснований AD
и BC
в точках K
и L
соответственно, а большей боковой стороны CD
— в точке M
. При этом CM=1
, DM=4
.
Поскольку CO
и DO
— биссектрисы углов BCD
и ADC
, сумма которых равна 180^{\circ}
, угол COD
— прямой, поэтому OM
— высота прямоугольного треугольника COD
, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,
r=OM=\sqrt{CM\cdot DM}=\sqrt{1\cdot4}=2.
Тогда
AD=AK+DK=r+CD=2+4=6,~BC=BL+LC=r+CM=2+1=3,
а так как точки K
, O
и L
лежат на прямой, перпендикулярной основаниям трапеции, то KL
— высота трапеции, KL=2r=4
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot KL=\frac{6+3}{2}\cdot4=18.