2943. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, равные 4 и 9. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 156.
Решение. Пусть окружность с центром O
и радиусом r
, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD
, касается оснований AD
и BC
в точках K
и L
соответственно, а боковой стороны CD
— в точке M
. При этом CM=4
, DM=9
.
Поскольку CO
и DO
— биссектрисы углов BCD
и ADC
, сумма которых равна 180^{\circ}
, угол COD
— прямой, поэтому OM
— высота прямоугольного треугольника COD
, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно,
r=OM=\sqrt{CM\cdot DM}=\sqrt{4\cdot9}=6.
Тогда
AD=2DK=2DM=18,~BC=2LC=2CM=8,
а так как точки K
, O
и L
лежат на прямой, перпендикулярной основаниям трапеции, то KL
— высота трапеции, KL=2r=12
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot KL=\frac{18+8}{2}\cdot12=156.