2944. В треугольнике ABC
известно, что AB=10
, BC=24
, а медиана BD
равна 13. Окружности, вписанные в треугольники ABD
и BDC
касаются медианы BD
в точках M
и N
соответственно. Найдите MN
.
Ответ. 7.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение. Если в треугольник XYZ
вписана окружность, а x
— расстояние от вершины X
до касания окружности со стороной XY
и YZ=a
, то x=p-a
, где p
— полупериметр треугольника.
Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами XY
, YZ
и XZ
через Z_{1}
, X_{1}
и Y_{1}
соответственно. Пусть XZ=b
и XY=c
. Тогда
YX_{1}=YZ_{1}=XY-XZ_{1}=c-x,~ZX_{1}=ZY_{1}=XZ-XY_{1}=XZ-XZ_{1}=b-x,
YZ=YX_{1}+ZX_{1}=c-x+b-x=b+c-2x.
Следовательно,
x=\frac{b+c-a}{2}=\frac{b+c+a}{2}-a=p-a.
Что и требовалось доказать.
Вернёмся к нашей задаче. Окружность, вписанная в треугольник ABD
, касается его стороны BD
в точке M
. По доказанному
BM=\frac{AB+BD+AD}{2}-AD=\frac{AB+BD-AD}{2}=\frac{23-AD}{2}.
Аналогично,
BN=\frac{BC+BD-CD}{2}=\frac{37-CD}{2}.
При этом AD=CD
. Следовательно,
MN=|BN-BM|=\left|\frac{37-CD}{2}-\frac{23-AD}{2}\right|=\frac{37-23}{2}=7.