2945. Точка D
делит основание BC
равнобедренного треугольника ABC
на два отрезка, один из которых на 2 больше другого. Найдите расстояние между точками, в которых вписанные окружности треугольников ABD
и ACD
касаются отрезка AD
.
Ответ. 1.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение. Если в треугольник XYZ
вписана окружность, а x
— расстояние от вершины X
до касания окружности со стороной XY
и YZ=a
, то x=p-a
, где p
— полупериметр треугольника.
Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами XY
, YZ
и XZ
через Z_{1}
, X_{1}
и Y_{1}
соответственно. Пусть XZ=b
и XY=c
. Тогда
YX_{1}=YZ_{1}=XY-XZ_{1}=c-x,~ZX_{1}=ZY_{1}=XZ-XY_{1}=XZ-XZ_{1}=b-x,
YZ=YX_{1}+ZX_{1}=c-x+b-x=b+c-2x.
Следовательно,
x=\frac{b+c-a}{2}=\frac{b+c+a}{2}-a=p-a.
Что и требовалось доказать.
Вернёмся к нашей задаче. Пусть окружность, вписанная в треугольник ACD
, касается отрезка BD
в точке M
, а окружность, вписанная в треугольник ABD
касается этого отрезка в точке N
. По доказанному
AM=\frac{AD+AC+CD}{2}-CD=\frac{AD+AC-CD}{2}.
Аналогично,
AN=\frac{AD+AB-BD}{2}.
При этом AB=AC
. Следовательно,
MN=|AN-AM|=\left|\frac{AD+AB-BD}{2}-\frac{AD+AC-CD}{2}\right|=
=\left|\frac{AD+AB-BD-AD-AC+CD}{2}\right|=\left|\frac{CD-BD}{2}\right|=\frac{2}{2}=1.