2948. В остроугольном треугольнике ABC
, длина стороны AC
которого равна 6, на стороны BC
и AB
опущены высоты AP
и CQ
. Вычислите площадь четырёхугольника AQPC
, если известно, что площадь треугольника BPQ
равна 1, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен \frac{9\sqrt{2}}{4}
.
Ответ. 8.
Указание. Треугольники BPQ
и BAC
подобны с коэффициентом \frac{1}{\sqrt{3}}
.
Решение. Из точек P
и Q
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Тогда ACPQ
— вписанный четырёхугольник, поэтому
\angle BPQ=180^{\circ}-\angle CPQ=\angle QAC=\angle BAC.
Следовательно, треугольник BPQ
подобен треугольнику BAC
по двум углам, причём коэффициент подобия k
равен \frac{BP}{AB}=\cos\angle B
.
Если R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, то по теореме синусов
\sin\angle B=\frac{AC}{2R}=\frac{6}{2\cdot\frac{9\sqrt{2}}{4}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Тогда, поскольку угол B
— острый,
\cos\angle B=\sqrt{1-\sin^{2}\angle B}=\frac{1}{3}.
Значит, k=\frac{1}{3}
, а так как отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то
S_{\triangle BAC}=\frac{1}{k^{2}}S_{\triangle BPQ}=9\cdot1=9.
Следовательно,
S_{AQPC}=S_{\triangle BAC}-S_{\triangle BPQ}=9-1=8.