2950. В равнобокой трапеции одно из оснований в три раза больше другого. Угол при большем основании равен 45^{\circ}
. Покажите, как разрезать трапецию на три части и сложить из них квадрат. Обоснуйте решение.
Решение. Пусть основание AD
данной равнобокой трапеции ABCD
в три раза больше основания BC
, \angle BAD=\angle CDA=45^{\circ}
. Проведём высоты BE
и CH
. Тогда
AE=DH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{3BC-BC}{2}=BC.
В прямоугольном треугольнике CHD
острый угол равен 45^{\circ}
, значит, этот треугольник — равнобедренный. Треугольник BCH
равен треугольнику CHD
по двум катетам. Из треугольников ABH
, BCH
и CHD
можно сложить квадрат ABHK
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2008-2009, XXXV, окружной этап, 8 класс