2952. Точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
, AB
треугольника ABC
. Известно, что A_{1}A
и B_{1}B
— биссектрисы углов треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 60^{\circ}
, 60^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Отрезки A_{1}B_{1}
и A_{1}C_{1}
— средние линии треугольника ABC
, поэтому A_{1}B_{1}\parallel AB
и A_{1}C_{1}\parallel AC
.
Первый способ. По свойству параллельных прямых
\angle BAA_{1}=\angle AA_{1}B_{1}=\angle AA_{1}C_{1}=\angle A_{1}AC,
значит, медиана AA_{1}
треугольника ABC
является его биссектрисой, поэтому треугольник ABC
— равнобедренный, AB=AC
. Аналогично, AB=BC
. Следовательно, треугольник ABC
— равносторонний, \angle ABC=\angle BCA=\angle BAC=60^{\circ}
.
Второй способ. Четырёхугольник AB_{1}A_{1}C_{1}
— параллелограмм, в котором диагональ является биссектрисой угла, значит, AB_{1}A_{1}C_{1}
— ромб. Следовательно, A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1}
. Аналогично, A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}
. Таким образом, треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
— равносторонний. Следовательно, треугольник ABC
— также равносторонний.