2954. Ромб и равнобокая трапеция описаны около одной и той же окружности и имеют одинаковые площади. Сравните их острые углы.
Ответ. Острые углы ромба и трапеции равны.
Решение. Пусть радиус окружности равен r
, сторона ромба равна a
, его острый угол равен \alpha
, боковая сторона трапеции равна b
, её острый угол равен \beta
. Тогда
S_{\mbox{ромба}}=a\cdot2r=\frac{2r}{\sin\alpha}\cdot2r=\frac{4r^{2}}{\sin\alpha},
а так как полусумма оснований описанной около окружности равнобедренной трапеции равна боковой стороне, то
S_{\mbox{трапеции}}=b\cdot2r=\frac{2r}{\sin\beta}\cdot2r=\frac{4r^{2}}{\sin\beta}.
Из равенства площадей ромба и трапеции следует равенство синусов углов \alpha
и \beta
, а так как эти углы острые, то \alpha=\beta
.