2957. В треугольнике ABC
заданы длины двух сторон: AB=6
, BC=16
. Кроме того, известно, что центр окружности, проведённой через вершину B
и середины сторон AB
и AC
, лежит на биссектрисе угла C
. Найдите AC
.
Ответ. 18.
Решение. Пусть N
и M
— середины сторон соответственно AB
и AC
треугольника ABC
; O
— центр окружности, проходящей через точки B
, N
и M
; K
— отличная от B
точка пересечения этой окружности со стороной BC
. Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABC
, хорды MN
и BK
параллельны, поэтому MK=NB=\frac{1}{2}AB=3
.
Заметим, что AC\ne BC
, так как иначе биссектриса угла ACB
лежала бы на серединном перпендикуляре к стороне AB
треугольника ABC
, что невозможно, так как лежащая на этой биссектрисе точка O
принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку BN
, а серединные перпендикуляры отрезков AB
и BN
параллельны.
В треугольниках OMC
и OKC
известно, что \angle OCM=\angle OCK
, OM=OK
(как радиусы одной окружности), а сторона OC
— общая. Аналогично для треугольников OMC
и OBC
. Значит, треугольник OMC
равен либо треугольнику OKC
, либо треугольнику OBC
.
Рассмотрим случай, когда треугольник OMC
равен треугольнику OKC
. Обозначим MC=CK=x
, \angle ACB=\gamma
. Из треугольников CKM
и ABC
по теореме косинусов находим, что
\cos\gamma=\cos\angle MCK=\frac{MC^{2}+CK^{2}-MK^{2}}{2MC\cdot CK}=\frac{x^{2}+x^{2}-9}{2x^{2}}=\frac{2x^{2}-9}{2x^{2}},
\cos\gamma=\cos\angle ACB=\frac{AC^{2}+CB^{2}-AB^{2}}{2AC\cdot CB}=\frac{4x^{2}+16^{2}-6^{2}}{2\cdot2x\cdot16}=\frac{4x^{2}+220}{64x}=\frac{x^{2}+55}{16x}.
Таким образом,
\frac{2x^{2}-9}{2x^{2}}=\frac{x^{2}+55}{16x}~\Leftrightarrow~x^{3}-16x^{2}+55x+72=0~\Leftrightarrow~(x+1)(x-9)(x-8)=0.
Ясно, что x
не может быть отрицательным. Если же x=8
, то AC=2x=16=BC
, что невозможно. Значит, x=9
и AC=2x=18
.
Пусть теперь треугольник OMC
равен треугольнику OBC
. Тогда MC=BC=16
, поэтому AC=2MC=32
, что невозможно, так как в этом случае AB+BC=6+16\lt32=AC
.
Следовательно, AC=18
.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1984, вариант 2, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — , с. 152