2959. Дан треугольник ABC
. На его стороне AB
выбирается точка P
и через неё проводятся прямые PM
и PN
, параллельные AC
и BC
соответственно (точки M
и N
лежат на сторонах BC
и AC
); Q
— точка пересечения описанных окружностей треугольников APN
и BPM
, отличная от P
. Докажите, что все прямые PQ
проходят через фиксированную точку.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Обозначим \angle ACB=\gamma
. Тогда
\angle AQP=\angle ANP=\angle ACB=\gamma,~\angle BQP=\angle BMP=\angle ACB=\gamma,
значит, для любого положения точки P
отрезок AB
виден из точки Q
под одним и тем же углом 2\gamma
, поэтому все точки Q
лежат на одной и той же окружности, а так как QP
— биссектриса угла AQB
, то все прямые PQ
проходят через середину не содержащей точку Q
дуги AB
этой окружности.
Аналогично для остальных случаев.