2961. Из точки
A
проведены касательные
AB
и
AC
к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках
D
и
E
;
M
— середина отрезка
BC
. Докажите, что
BM^{2}=DM\cdot ME
и угол
DME
в два раза больше угла
DBE
или угла
DCE
; кроме того,
\angle BEM=\angle DEC
.
Решение. Пусть
O
— центр данной окружности
S
. Из прямоугольного треугольника
AOB
находим, что
AB^{2}=AO\cdot AM
. С другой стороны, по теореме о касательной и секущей
AB^{2}=AD\cdot AE
. Из равенства
AO\cdot AM=AD\cdot AE
следует, что точки
M
,
O
,
D
и
E
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Обозначим её
S_{1}
.
Вписанные углы
DME
и
DOE
этой окружности опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle DME=\angle DOE
. Если точки
D
и
C
лежат по разные стороны от прямой
AO
, то вписанный в окружность
S
угол
DCE
вдвое меньше центрального угла
DOE
. Следовательно,
\angle DME=\angle DOE=2\angle DCE.

Если же точки
D
и
C
лежат по одну сторону от прямой
AO
, то аналогично
\angle DME=2\angle DBE
.
Пусть луч
MB
пересекает окружность
S_{1}
в точке
K
. Поскольку
\angle KMO=90^{\circ}
, отрезок
OK
— диаметр этой окружности. Линия центров
OK
окружностей
S
и
S_{1}
перпендикулярна их общей хорде
DE
, поэтому дуги
KD
и
KE
окружности
S_{1}
, не содержащие точки
O
, равны. Следовательно, равны и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, т. е.
\angle DMK=\angle EMK
.
Пусть продолжения отрезков
DM
и
EM
пересекают окружность
S
в точках
E'
и
D'
соответственно. Поскольку окружность
S
симметрична относительно прямой
AO
, а
DE'
и
ED'
образуют с этой прямой равные углы, точки
D'
и
E'
симметричны точкам соответственно
D
и
E
относительно прямой
AO
. Тогда
MD=MD'
и
ME=ME'
.
По теореме об отрезках пересекающихся хорд
BM^{2}=BM\cdot BM=BM\cdot MC=DM\cdot ME'=DM\cdot ME.

Дуги
BD'
и
CD
, не содержащие точки
E
, симметричны относительно прямой
AO
, поэтому опирающиеся на них вписанные в окружность
S
углы
BED'
и
DEC
равны. Следовательно,
\angle BEM=\angle BED'=\angle DEC.

Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 3.30
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 3.31, с. 60