2963. Даны окружность S
и прямая l
, не имеющие общих точек. Из точки P
, движущейся по прямой l
, проводятся касательные PA
и PB
к окружности S
. Докажите, что все хорды AB
имеют общую точку.
Решение. Пусть M
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
окружности S
на прямую l
, X
— точка пересечения этого перпендикуляра с хордой AB
.
Отрезок OP
виден из точек M
, A
и B
под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OP
. Вписанные в эту окружность углы AMO
и ABO
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle AMO=\angle ABO=\angle BAO.
Треугольники AMO
и XAO
подобны по двум углам (угол AOM
— общий), поэтому \frac{OX}{OA}=\frac{OA}{OM}
, откуда OX=\frac{OA^{2}}{OM}
, а так как OA
— радиус данной окружности S
, OM
— расстояние от центра окружности до данной прямой l
, то OX
— постоянная величина. Следовательно, все хорды AB
проходят через одну и ту же точку X
, лежащую на фиксированном отрезке OM
.