2964. Через точку M
, лежащую внутри окружности S
, проведена хорда AB
; из точки M
опущены перпендикуляры MP
и MQ
на касательные, проходящие через точки A
и B
. Докажите, что величина \frac{1}{PM}+\frac{1}{QM}
не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M
.
Решение. Пусть радиус окружности равен R
, точки P
и Q
лежат на касательных, проведённых к окружности в точках A
и B
соответственно. Обозначим \angle PAB=\angle QBA=\varphi
. Из прямоугольных треугольников APM
и BQM
находим, что PM=AM\sin\varphi
, QM=BM\sin\varphi
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что из точек большей дуги AB
окружности, отличных от A
и B
, хорда AB
видна под углом \varphi
, поэтому AB=2R\sin\varphi
. Тогда
\frac{1}{PM}+\frac{1}{QM}=\frac{1}{AM\sin\varphi}+\frac{1}{BM\sin\varphi}=\frac{AM+BM}{AM\cdot BM\sin\varphi}=
=\frac{AB}{AM\cdot BM\sin\varphi}=\frac{2R\sin\varphi}{AM\cdot BM\sin\varphi}=\frac{2R}{AM\cdot BM}.
Произведение AM\cdot BM
не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M
. Отсюда следует утверждение задачи.