2968. Дан остроугольный треугольник ABC
. Точки B'
и C'
симметричны соответственно вершинам B
и C
относительно прямых AC
и AB
. Пусть P
— точка пересечения описанных окружностей треугольников ABB'
и ACC'
, отличная от A
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC
лежит на прямой PA
.
Решение. Пусть серединный перпендикуляр к стороне AB
пересекает прямую AC
в точке O_{1}
. Тогда O_{1}A=O_{1}B=O_{1}B'
, значит, O_{1}
— центр описанной окружности треугольника ABB'
. Аналогично, точка O_{2}
пересечения серединного перпендикуляра к стороне AC
с прямой AB
— центр описанной окружности треугольника ACC'
.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Общая хорда AP
пересекающихся окружностей, описанных около треугольников ABB'
и ACC'
, перпендикулярна их линии центров O_{1}O_{2}
, а так как O_{1}O\perp AB
и O_{2}O\perp AC
, то O
— точка пересечения высот треугольника AO_{1}O_{2}
, поэтому AO\perp O_{1}O_{2}
. Следовательно, точки A
, O
и P
лежат на одной прямой.