2970. Точка M
— середина стороны AB
треугольника ABC
. На отрезке CM
выбраны точки P
и Q
так, что CQ=2PM
. Оказалось, что \angle APM=90^{\circ}
. Докажите, что BQ=AC
.
Указание. Пусть H
— проекция вершины B
на прямую CM
. Прямоугольные треугольники BHQ
и APC
равны по двум катетам.
Решение. Первый способ. Пусть R
— точка на отрезке PC
, для которой PR=PM
(рис. 1). Треугольник AMR
равнобедренный, так как его медиана AP
является высотой, поэтому AQ=AM=BM
. Кроме того,
\angle AQC=180^{\circ}-\angle AQM=180^{\circ}-\angle AMQ=\angle BMQ,
CR=CQ+QR=2PM+QR=MR+QR=MQ.
Значит, треугольники AQC
и BMQ
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BQ=AC
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть H
— проекция вершины B
на прямую CM
(рис. 2). Прямоугольные треугольники BMH
и AMP
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому BH=AP
и MH=MP
. Кроме того,
QH=QP+PH=QP+2PM=QP+CQ=CP,
значит, прямоугольные треугольники BHQ
и APC
равны по двум катетам. Следовательно, BQ=AC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Иванов С. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2010, первый тур, 8 класс