2971. На стороне AD
параллелограмма ABCD
выбрана точка X
, а на продолжении этой стороны за точку D
выбрана точка Y
, причём AX=XY
. Прямые BX
и CD
пересекаются в точке L
, а прямые BY
и CD
— в точке K
. Докажите, что CK=KL
.
Указание. Через точку K
проведите прямую, параллельную BC
(или через точку Y
— прямую, параллельную AB
).
Решение. Первый способ. Через точку K
проведём прямую, параллельную AD
(рис. 1). Пусть она пересекает прямые AB
и BL
в точках N
и M
соответственно. Поскольку X
— середина AY
, отрезок BX
— медиана треугольника ABY
, а так как KN\parallel AY
, то M
— середина стороны NK
параллелограмма BCKN
. Значит, MK=\frac{1}{2}KN=\frac{1}{2}BC
, а так как KM\parallel BC
, то MK
— средняя линия треугольника BCL
. Следовательно, CK=KL
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Через точку Y
проведём прямую, параллельную AB
(рис. 2). Пусть она пересекает прямые BX
и BC
в точках P
и Q
соответственно.
Треугольники PXY
и BXA
равны по стороне (XY=AX
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому PY=AB=QY
, т. е. Y
— середина отрезка PQ
.
Медиана BY
треугольника PBQ
делит пополам отрезок CL
, параллельный PQ
, следовательно, K
— середина CL
. Что и требовалось доказать.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2010, первый тур, 9 класс