2973. AD
— биссектриса треугольника ABC
, DE
— биссектриса треугольника ADC
. Оказалось, что CD=AB
, AD=CE
. Докажите, что \angle CDA\lt120^{\circ}
.
Указание. Предположите, что \angle CDA\geqslant120^{\circ}
и на стороне AC
отметьте точку B'
, для которой \angle ADB'=\angle ADB
.
Решение. Допустим, что \angle CDA\geqslant120^{\circ}
. Тогда
\angle ADE\geqslant60^{\circ},~\angle ADB=180^{\circ}-\angle CDA\leqslant180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Отметим на стороне AC
точку B'
, для которой \angle ADB'=\angle ADB
. Поскольку \angle ADB'\leqslant\angle ADE
, точка B'
лежит на отрезке AE
(либо совпадает с E
).
Треугольники ADB'
и ADB
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому AB'=AB=CD
. Следовательно,
AC\geqslant AB'+CE=AB+CE=CD+AD,
что противоречит неравенству треугольника. Следовательно, \angle CDA\lt120^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2010, второй тур, 7 класс