2974. На стороне AB
треугольника ABC
выбрана точка K
. Отрезок CK
пересекает медиану AM
в точке P
. Оказалось, что BK=2PM
. Докажите, что AK=AP
.
Указание. Отметьте середину отрезка CK
.
Решение. Пусть D
— середина отрезка CK
. Тогда DM
— средняя линия треугольника KBC
, поэтому
DM=\frac{1}{2}BK=PM,~DM\parallel AB.
Треугольник DPM
— равнобедренный (DM=PM
), значит, подобный ему треугольник KPA
— также равнобедренный. Следовательно, AK=AP
. Что и требовалось доказать.
Автор: Иванов С. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2010, второй тур, 8 класс