2977. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) отмечены середины X
и Y
сторон AB
и AC
соответственно. Точка Z
— основание перпендикуляра из точки B
на прямую CX
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника XYZ
лежит на прямой AC
.
Указание. Точки Y
, Z
, B
и C
лежат на одной окружности.
Решение. По теореме о средней линии треугольника XY\parallel BC
. Поскольку треугольник ABC
равнобедренный, его медиана BY
является высотой. Обозначим \angle CBY=\alpha
. Тогда
\angle XYA=\angle BCA=90^{\circ}-\alpha.
Из точек Z
и Y
сторона BC
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BC
. Вписанные в эту окружность углы CZY
и CBY
опираются на одну и ту же дугу. Поэтому
\angle CZY=\angle CBY=\alpha.
Тогда
\angle XZY=180^{\circ}-\angle CZY=180^{\circ}-\alpha.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника XYZ
. Дуга этой окружности, на которую опирается вписанный угол XZY
, равна 360^{\circ}-2\alpha
, значит, \angle XOY=2\alpha
. Из равнобедренного треугольника XOY
находим, что
\angle XYO=90^{\circ}-\alpha=\angle XYA.
Следовательно, точка O
лежит на луче CA
, а значит, на прямой AC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2010, второй тур, 10 класс