2978. Вписанная окружность касается сторон AC
и BC
треугольника ABC
в точках K
и L
соответственно, вневписанная окружность касается стороны AC
этого треугольника в точке P
. Прямая KL
пересекается с прямой, проходящей через A
параллельно BC
, в точке M
. Докажите, что PL=PM
.
Указание. AK=CP
, а треугольники MAP
и PCL
равны по двум сторонам и углу между ними.
Решение. Воспользуемся следующим известным фактом. Если K
и P
— точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной AC
треугольника ABC
, то AK=CP
.
Треугольник KCL
равнобедренный (CL=CK
) и AM\parallel CL
, поэтому
\angle AMK=\angle CLK=\angle CKL=\angle AKM.
Значит, AM=AK=CP
. Кроме того, AP=CK
, а так как \angle MAP=\angle PCL
, то треугольники MAP
и PCL
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, PL=PM
. Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада ФМЛ № 239 (Санкт-Петербург). — 2010, 8-9 классы