2979. Вписанная окружность касается сторон AC
и BC
треугольника ABC
в точках K
и L
соответственно, вневписанная окружность касается стороны AC
этого треугольника в точке P
. Отрезок AL
вторично пересекает вписанную окружность в точке S
. Прямая KL
вторично пересекается с описанной окружностью треугольника ASK
в точке M
. Докажите, что PL=PM
.
Указание. Прямые AM
и BC
параллельны, AK=CP
, а треугольники MAP
и PCL
равны по двум сторонам и углу между ними.
Решение. Воспользуемся следующим известным фактом. Если K
и P
— точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной AC
треугольника ABC
, то AK=CP
.
Четырёхугольник AMKS
— вписанный, поэтому
\angle KSL=180^{\circ}-\angle ASK=\angle AMK.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle KSL=\angle CLK
, а так как треугольник KCL
равнобедренный (CL=CK
), то
\angle AKM=\angle CKL=\angle CLK=\angle AMK.
Значит, CP=AK=AM
. Кроме того, из равенства углов AMK
и CLK
следует параллельность прямых AM
и CL
, поэтому \angle PAM=\angle LCP
, а так как CL=CK=AP
, то треугольники MAP
и PCL
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, PL=PM
. Что и требовалось доказать.