2981. Диагонали параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
. Докажите, что если окружность, проходящая через точки A
, B
и O
, касается прямой BC
, то окружность, проходящая через точки B
, C
и O
, касается прямой CD
.
Указание. Примените теорему об угле между касательной и хордой, а также обратную теорему.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ACD=\angle BAC=\angle BAO=\angle DBC.
Через точку C
проведём касательную к описанной окружности треугольника BOC
. Пусть она пересекает прямую AD
в точке D_{1}
. Тогда
\angle ACD_{1}=\angle OCD_{1}=\angle OBC=\angle DBC=\angle ACD,
а так как точка O
находится внутри параллелограмма ABCD
, точки D_{1}
и D
лежат в той же полуплоскости относительно прямой BC
, что и точка O
. Значит, касательная CD_{1}
совпадает с прямой CD
. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Турнир городов. — 1998-1999, XX, весенний тур, младшие классы, основной вариант
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1999, LXII, 9 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1999, № 2, с. 16, М1677; 1999, № 4, с. 49
Источник: Задачник «Кванта». — М1677
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 3, с. 41