2983. Через точку O
пересечения биссектрис треугольника ABC
проведена прямая MN
перпендикулярно CO
, причём точки M
и N
лежат на сторонах AC
и BC
соответственно. Прямые AO
и BO
пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках A'
и B'
. Докажите, что точка пересечения прямых A'N
и B'M
лежит на описанной окружности.
Указание. Проведите диаметр PQ
окружности ABC
(точки C
и Q
лежат по одну сторону от прямой AB
). Пусть луч QO
пересекает окружность в точке L
, а отрезки LB'
и AC
пересекаются в точке M_{1}
. Докажите, что точка M_{1}
совпадает с M
.
Решение. Проведём диаметр PQ
окружности ABC
(точки C
и Q
лежат по одну сторону от прямой AB
). Пусть луч QO
пересекает окружность в точке L
, а отрезки LB'
и AC
пересекаются в точке M_{1}
. Докажем, что OM_{1}\perp CO
.
Обозначим углы треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а дугу CQ
через x
. Центр O
вписанной окружности треугольника ABC
— точка пересечения его биссектрис, поэтому точки P
и B'
— середины дуг AB
и AC
,
\smile AP=\gamma,~\smile AB'=\smile B'C=\beta,
значит,
\gamma+2\beta+x=180^{\circ},~
откуда
x=180^{\circ}-\gamma-2\beta=\alpha+\beta-2\beta=\alpha-\beta.
Следовательно,
\angle QLB'=\frac{1}{2}\smile B'Q=\frac{1}{2}(\beta+x)=\frac{1}{2}(\beta+(\alpha-\beta))=\frac{\alpha}{2}=\angle M_{1}AO.
Из точек L
и A
, лежащих по одну сторону от прямой OM_{1}
, отрезок OM_{1}
виден под одним и тем же углом (\frac{\alpha}{2}
), значит, точки L
, A
, O
и M_{1}
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы ALM_{1}
и AOM_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle AOM_{1}=\angle ALM_{1}=\angle ALB'=\frac{1}{2}\smile AB'=\frac{\beta}{2}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle OM_{1}C=\angle OAM_{1}+\angle AOM_{1}=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2},
поэтому
\angle COM_{1}=180^{\circ}-\angle OM_{1}C-\angle OCM_{1}=180^{\circ}-\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)-\frac{\gamma}{2}=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Следовательно, точка M_{1}
совпадает с M
. Аналогично точка N_{1}
пересечения LA'
и BC
совпадает с N
. Отсюда следует утверждение задачи.