2989. Точки M
и N
— середины боковых сторон AB
и CD
трапеции ABCD
. Перпендикуляр, опущенный из точки M
на диагональ AC
, и перпендикуляр, опущенный из точки N
на диагональ BD
, пересекаются в точке P
. Докажите, что PA=PD
.
Указание. Соедините точки M
и N
с серединой основания AD
.
Решение. Обозначим через Q
середину стороны AD
. Заметим, что прямая MQ
параллельна прямой BD
, а прямая QN
параллельна прямой AC
, так как это средние линии треугольников ABD
и ACD
соответственно. Поэтому отрезки MP
и NP
будут высотами в треугольнике MNQ
, а точка P
— его ортоцентром. Значит, прямая QP
перпендикулярна прямой MN
. Поскольку прямая MN
параллельна прямой AD
, получаем, что PQ
перпендикулярна AD
, а значит, является серединным перпендикуляром. Следовательно, PA=PD
.